「謝罪する」は英語で "Apologize" と言います。"Say sorry" でも伝わりますが、あまりフォーマルではありません。普段の会話の中だけでは大丈夫です。
例文：
"Please apologize about this incident." 「この事故のことについて謝ってください。」
"He forgave me after I apologized." 「彼は私が謝った後、許してくれた。」
ご参考になれば幸いです。
謝罪することは「Apologize」すると言います。
または、もうちょっとかしこまった感じで言うと、「Express regret」（後悔の気持ちを伝える）と言う表現もあります。
ちなみに、日本語で言う「クレーマー」や「クレーム」は、英語だと「Complaint」、または「Customer complaint」と訳します。
「Claimer」は訴訟を起こすレベルの話です。
更に言えば、訴訟を起こしたがわは「Claimant」と言います。
質問者様の言いたいことは、英語にすると「The first thing to do when you receive a customer complaint is to apologize」（クレームを受け付けたらまず最初に謝罪をする）になります。
もちろん、これが正しいかどうかは会社次第ですが、一般的には謝罪をするのは、お客様が不快であることに対して謝罪するのに対して、何か責任を認めるための謝罪と区別する必要があるように思います。
1) Apologize for the customer feeling angry
2) Apologize for causing the customer distress
この二つを区別するのも大事だと思います。
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