I've always had a dog というと、「私はずっと犬を飼っていました」となります。always は「いつも」または「ずっと」という意味です。
I grew up with a dog ですと、「私は犬と育ちました」という感じです。
そのほかには、Ever since I was little, I've always had a dog （小さい頃からずっと犬を飼ってました）や、I've grew up with a dog pretty much my whole life （私の人生のほとんどは犬と共に育ちました）とも言えます。
ご質問ありがとうございます。
・「 I've always had a dog. 」
（意味)ずっと犬を飼っていました。
<例文> I love dogs so much. I've always had a dog. I have two Chihuahuas waiting for me at home.
<訳> 犬が大好きです。ずっと犬を飼っていました。家で2匹のチワワが待っています。
参考になれば幸いです。
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