I've been studying English every day. I'm getting better.
毎日、英語を勉強してきました。だんだん上手くなってきています。
My English improved because I've been studying English every day.
毎日英語を勉強をしてきたので、私の英語は上達しました。
every 「ひとつひとつすべての」 と day 「日」の組み合わせで「毎日」です。
ややこしいのですが、everyday と every dayの２つが存在します。everydayの方はeveryday life 「毎日の生活」 のような形容詞ですが、あまりeveryday lesson「毎日のレッスン」という使い方はあまり耳にしたことがないです。（講座名やタイトルならあります）
基本的には自分の立場から考えて、learn「習う」 でなくstudy「勉強する」でいいと思います。ただの勉強でなくレッスン（講座）を受けていたことを強調したいのであれば、I've been taking English lessons を使うといいと思います。
日本 
