ご質問ありがとうございます。
「になる」は英語で「become」と言います。
「美容師になる夢」の場合、「to have the dream to become a beautician. 」になります。
「[看護師](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52366/)になる」の場合、「to have the dream of becoming a nurse.」になります。
ちなみに「to become」と「of becoming」は同じ意味です。
ご参考になれば幸いです。