「出来事」と単語で翻訳にかけてしまうと、やはりそういう表現になると思いますが、文章によって言い方は変わります。また、どちらかというとカタカナの「イベント」（催し物）や「ハプニング」（ちょっとした事故）が特定の意味を持ちすぎてしまっているので、違和感を感じるのかもしれません。
あまり「出来事」を使った日本語の例文があまり思いつきませんので、うまく説明ができませんが、いくつか例を挙げてみようと思います。
それが昨日起こった出来事でした。
That was what happened yesterday.
あの日のこと（出来事）は全て覚えている。
I remember everything about that day.
これはアメリカの歴史において重要な出来事のひとつだ。
This is one of the important events happened in American history.
「今日の出来事」と見出しのようになる場合は Today's event でいいと思います。
サイトは間違えてるっていうわけじゃないんだけどニュアンスと使い方が日本語よりちょっと難しいです。出来事は英語でなんっていうのって聞くとはっきり答えられないんです。
Happeningはあんまり使わないけどhappenedのほうがよく使います。
例:何があったか分かりません。あっという間出来事でした。I don't know what happened! It happened in a flash!
この分には出来事は１回使ったのに英語でhappenedが２つありました。気をつけてください！
Eventは時々使いますがちゃんとイベントじゃないとあんまり使いません。
例:今日の出来事はこれです。These are the events for the day.
ネガティブなニュアンスだとincidentがよく使います。
例:これは不幸な出来事でした。This was an unfortunate incident.
ご質問ありがとうございました！
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