彼は、それを彼女の方に向かって差し出したって英語でなんて言うの？

1) He held out a present to his girlfriend.
「彼は彼女にプレゼントを差し出した。」
ここでは「差し出す」を hold out を使って言いました。
hold out で「手を伸ばす・差し出す」という意味です。

2) He offered his girlfriend a gift.
「彼は彼女に贈り物を差し出した。」
offer には「申し出る」という意味の他に「差し出す」という意味もあります。

ご参考になれば幸いです！