I have asked my landlord to have an exterminator come to my house several times.
どちらも「大家さんに頼んで、ネズミの駆除のため、なんども駆除業者に来てもらった。」というニュアンスになります。
1) I have asked my landlord to have an exterminator come to my house several times to get rid of mice.
2) I have asked the owner of my house to have an exterminator come to our place again and again to take care of our mice problem.
「大家」は
landlord
owner of one's house
「駆除業者」は exterminator と言います。
どちらの例文も、
1)駆除業者になんども来てくれるように頼んでもらい、実際なんども来てくれた。
2)駆除業者になんどもきてくれるように頼んでもらったが、まだ来てくれない。
の両方の意味に取ることができます。
ご参考になれば幸いです!