「ダメージが少なかった」は使い方にもよりますが
there wasn't much damage
there was (very) little damage
のように言うことができます。
masakazuさんの例文の場合なら
I dropped my phone but it was in a hard case so it was fine.
「携帯を落としたけど硬いケースに入っていたので大丈夫だった。」
I dropped my phone but I had it in a protective case so it wasn't really damaged much.
「携帯を落としたけど保護ケースに入れていたのでダメージがあまりなかった。」
このように言うと自然で良いかなと思います。
ご参考になれば幸いです！
My phone did not take much damage thanks to the sturdy case.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
My phone did not take much damage thanks to the sturdy case.
とすると、「しっかりしたケースのおかげで[ダメージ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/71201/)が少なくて済みました。」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
take damage ダメージを受ける
sturdy 丈夫な
参考になれば幸いです。
日本 
