実際にやり遂げてしまった場合は
managed to finishという表現が使えます。
I got a tough/difficult job, but I managed to finish it.
難しい仕事を請けたがなんとかやり遂げた。
後半部分ではmanaged to get it done または（前半がない場合には） managed to get done with the job/work/task/challengeのように言うこともできると思います。
未来または意志について言及する場合（つまり「やり遂げるぞ！」）という場合は
I got a job. I know it's very tough to do, but I'll never give it up!
仕事を受けた。非常に大変ではあるが決してあきらめないぞ。
のように言うことができます。
口語であれば、1番目の言い方で簡単に言ってしまうと思います。
make it には「成功する」「達成する」と言った意味合いがありますので、それにsomehowを付けると、「どうやるかは分からないけども、成功しなくては」と言った感じになります。
manage to doは硬いですかねぇ。ランケンは個人的にはあまり使わないです。
「なんとか～を切り抜ける」に対応する英語は"in one piece"ですね。質問者様の挙げてるような状況であれば
「依頼をなんとかやりきる」
→"Get the job done in one piece"
と表現することが出来ます。"in one piece"とは「一つなぎの状態」で、つまり「五体満足で」という意味です。「（傷だらけではあるが）五体満足で切り抜けた」という比喩表現で、まさに「なんとか切り抜けた」時に使います。
後は、ちょっとニュアンスは違いますが
"no matter what it takes"
もよく使う表現です。こちらは「何としてでも切り抜ける」という意で、質問者様の思っているよりも若干強めかもしれませんが便利な表現であることに変わりはありません。
日本 
アメリカ合衆国 
