「泥」は英語で mudですが、こちらは土が濡れた時の泥のみを意味するので、もっと無難に「よごれ」という意味で」使いたいのであれば dirt で結構です。dirt は不潔物、泥、ほこり、土など全てに対して使います。
「〜だらけ」や「〜まみれ」は covered with 〜 と言います。
例:
子供と公園に行くと絶対泥だらけになって帰ることになる。
When I go to the park with my child, I always come home covered with dirt.
ちなみに単純に「汚くなる」というなら I get dirty と言います。
例:
子供と公園に行くと汚くなる。
I get so dirty when I go to the park with my kid.