root は植物の根っこだけでなく「根元・付け根」などの意味もあります。
Please try to get right down to the roots.
根元にしっかり（カラーリング剤を）入れるようにしてください、というニュアンスです。
Please colour my hair thoroughly including all the roots.
根元も全てしっかりカラーしてください、というニュアンスです。
thoroughly「徹底的に・しっかり」
Can you make sure you soak the roots well?
根元にたっぷり（カラーリング剤を）付けてくれますか？というニュアンスです。
ご参考まで！
カナダ 
