英語をもっと喋らせるように仕向けて（促して) は
Please encourage/lead me to speak English more.
などとなります。
encourage 人 to ~
で、人 に～するよう仕向ける・奨励する
lead 人 to~
人 に ~する方向に引っ張っていく・仕向ける
「いろいろ質問して、英語をもっと喋らせるように仕向けて」でしたら
Please encourage me to speak English more by asking me various questions.
です。
(various いろいろな）
レッスン中に教師に対して自分がより多く喋るように仕向けて欲しいとリクエストしたい場合、「Please encourage me to speak more English.」と伝えると、「英語をもっと喋らせてください」と先生にお願いすることができます。これは積極的に発言する機会を作ってもらいたいという意向を示す表現です。
同じ意図で使える他のフレーズ:
Can you prompt me to talk more during the lesson?
I'd like more opportunities to practice speaking. Can you help me with that?
日本 
アメリカ合衆国 
