「汚いまま(食器等を)放置しないでください」って英語でなんて言うの？

「汚いまま(食器等を)放置しないでください」は英訳すると、最もストレートな言い方だとdon't leave dirty dishes in the sinkといった命令文になります。don'tの前に「お願い」を意味するpleaseを入れることでもう少し丁寧な言い方になります。

「汚いまま」の「まま」という部分は、英語では、「残す」「そのままにしておく」などの意味をもつleaveという動詞を使って表すことができます。

Leave it as it is.
そのままにしておいてください。

Leave me alone
一人にしてください。

sinkは、そのまま「シンク」「台所の流し」という意味です。

do the dishesは直接に英訳すると、「皿を洗ってください」という意味になります。上記の文よりもう少し遠まわしの言い方になります。
doはもともと、「する」「やる」という意味ですが、ここで「洗う」という同じ意味で使われます。doのかわりに「洗う」を意味するwashに置き換ええもいいです。
また、このthe dishesは「皿｣だけではなく、スプーンやナイフなど食事で使われる「食器」も指しています。

訳例はご質問の直訳ではありませんが、注意喚起に使えるシンプルな表現です。

Don't leave your dishes here.
（自分の食器をここに置いておかないでください）

放置を注意するにはこれで十分伝わります。丁寧めにしたければpleaseを付けるといいですね。

貼り紙で注意することを想定すれば、

Thank you for keeping the kitchen clean.
（キッチンをきれいにしておいてくれてありがとう）

「するな」と言わずにやんわりと伝えることができると思います。

ご質問の「汚いまま放置しないでください」を英語で言うには

Don't leave your dirty dishes here.
（自分の汚れた食器をここに放置しないでください）

Don't leave your dishes dirty.
（自分の食器を汚れたままにしないでください）

dirtyの位置で意味が違います。状況に応じて使い分けてみてください。

参考になれば幸いです。