「汚いまま(食器等を)放置しないでください」は英訳すると、最もストレートな言い方だとdon't leave dirty dishes in the sinkといった命令文になります。don'tの前に「お願い」を意味するpleaseを入れることでもう少し丁寧な言い方になります。
「汚いまま」の「まま」という部分は、英語では、「残す」「そのままにしておく」などの意味をもつleaveという動詞を使って表すことができます。
Leave it as it is.
そのままにしておいてください。
Leave me alone
一人にしてください。
sinkは、そのまま「シンク」「台所の流し」という意味です。
do the dishesは直接に英訳すると、「皿を洗ってください」という意味になります。上記の文よりもう少し遠まわしの言い方になります。
doはもともと、「する」「やる」という意味ですが、ここで「洗う」という同じ意味で使われます。doのかわりに「洗う」を意味するwashに置き換ええもいいです。
また、このthe dishesは「皿」だけではなく、スプーンやナイフなど食事で使われる「食器」も指しています。