発注するって英語でなんて言うの？

"発注する"は「place an order」と表現しますね。

こちらの例では「place」で（注文を）"発する、出す"と表現し「order」はそのまま"注文"の訳になります。なお「order」単体でも"注文する"と言う意訳で使います。

例
・I'd like to place an order of~（○○の発注をお願いしたいのですが）
・I'd like to order some~（○○を注文したいんですが）

ご質問ありがとうございます。

「発注」と「注文」は英語で同じのorderになります。orderは動詞としても名詞としても使えます。上記の使い方は名詞ですね。

動詞の例：One of my responsibilities at work is to order products.

ご参考になれば幸いです。