美容院で、「カットとカラーをお願いします」って英語でなんて言うの？

そのままで十分伝わります。

cut and coloring
カラーとそのまま言うと、色。と言ってるだけになってしまうので気を付けてください(笑)

美容院などに行くとちょっとした専門用語などがあるので少し緊張しますよね。

どのくらい時間かかりますか？
How long will it take?

です。
海外で美容院に行くと、日本人の髪を扱える美容師少ないので、希望にこたえてくれる美容師に出会えるといいですね！

お役に立てれば幸いです！