When you're with someone for awhile, it's natural to become comfortable around them.
これは直訳と違いますが、言いたいことを伝えられる表現になります。
for awhile は(ある間)という意味になり、「長く居ると」と同じように使えます。
you become comfortable around them は(その人と一緒にいるとリラクスできる)ということになり、「ドキドキしなくなる」と相当することです。
it's natural は「当たり前」の言い方です。
参考になれば幸いです。