自分の中のもう一人の自分を無視しない、って英語でなんて言うの？

確かにそのまま訳すと違和感があるので、より自然な表現には、one's inner voice「内なる声」や、intuition「直感」などを使うのがいいですね。 目の前の相手や一般的に言う場合を考えて、対象を you としました。例文のいずれも「自分の内なる声に素直になってね」「自分の直感を大事にしてね」というニュアンスになります。

そうですね。「Another me inside myself」というと通じないかもしれません！「a voice inside myself」や「my inner voice」の方がもっと自然な英語です。