[遊び](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/37320/) = hangout
遊ぶ = hang out
[誘い](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33016/) = invitation
誘う = invite
答えはどれも友達や家族に会いに行って一緒に楽しい時間を過ごすという意味ですね。Hangout も hang out もカジュアルなので、目上の人などとだったら、使わない方がいいかもしれません。上の文章を訳したら、I invited my friend to hang out になります。
Hangout は名詞ですが、あまり言わないと思います。Hang out (2-word 動詞) の方が使われています。そこで上記の３つの中で invitation to hang out の方が自然だと思います。
最初の言い方は、To be asked whether you can hang out は、[遊べるか](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34912/)の[誘い](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33016/)と言う意味として使われていました。
最初の言い方では、To be asked は、誘いと言う意味として使われています。whether you can は、かと言う意味として使われていました。hang out は、遊べると言う意味として使われています。
二つ目の言い方は、To be asked if you are available は、時間が空いてるかの誘いと言う意味として使われていました。
二つ目の言い方では、if you are available は、空いてるかのと言う意味として使われています。
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