カバンなどを「肩にかける」は put ... around one's shoulder のように言います。
なので例えば「（女性用の）カバンを肩にかける」なら put one's purse around one's shoulder と言えますね。
その他にも
put your bag around your shoulder「カバンを肩にかける」
put your backpack on your back「リュックを背負う」
のようにも言えます。
例：
Some Japanese ladies carry their purse around their shoulders but other ladies carry their handbags around their arms.
「日本人女性の中には、肩にバッグをかける人もいますが、腕にバッグをかける人もいます。」
put の代わりに carry を使っても言えます。carry は「運ぶ」という意味のほか、「身につける」「身につけて持ち歩く」と言う意味もあります。
ご参考まで！
sling は複数の意味があって、動詞として大まかに４つの意味を持たせます。
過去形：slung
① Y形の棒にゴムをつけて小石を飛ばすときの動作。すなわち「ぱちんこ」で石を飛ばす動作。
例：Using the slingshot, he slung stones at a target.
ぱちんこを使って、小石を飛ばして的に当たろうとした。
② 肩などに引っ掛ける
例：She slung the towel over her shoulder.
彼女がタオルを肩に引っ掛けた。
↑これは質問者が探している単語ではないでしょうか。
例：I slung the bag over my shoulder.
私がカバンを肩にかけました。
もっと自然な言い方は、
I slung the strap of the bag over my shoulder.
私がカバン[のストラップ]を肩にかけました。
slingは主に細いものを何かに掛けるイメージです。
slung my bag over my shoulderはバッグ丸ごと肩に掛けるイメージを持たせるので、少し不自然です。
ところで、「スリングバッグ」を日本語で検索してみたらある商品が出てきます。
まさにそのイメージです：バッグの一番細いところを、肩にかけます。
③ 放り投げる
例：The bullies slung mud at her.
いじめっ子が彼女に泥を放り投げた。
⓸ 吊るす
例：Let’s sling the hammock between those trees.
あそこの木の間にハンモックを吊るそう。
shoulderは名詞なら「肩」の意味を持っているが、
実は動詞としても使われています。
この単語も動詞として複数の意味があるものの、
slingの「肩に掛ける」より硬い表現なので書き言葉を中心に使いましょう。
「担ぐ」、「肩に背負う」の意味で、shoulder the bag (バッグを肩に背負う) のような字義どおりの意味以外、shoulder the blame（責めを負う）など、比喩的な表現でもあります。
ご参考になさってください。
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