自分の通っている大学のことを話すときは my university と言いますが、地域にある特定の大学であれば the university となります。
The area around my university と言うと「私の通う大学の周辺の地域」となりますが The area around the university ですと「(ある特定の)大学の周辺の地域」となります。
The surrounding area も「周辺のエリア、地域」を意味します。あとは単純に around my university と言うと「私の大学の周り」となります。
例:There are many stores around the university
「大学の周りにはお店がたくさんあります。」
例:There are few crimes committed in the area around my university.
私の大学の周辺の地域では犯罪は少ないです。
ご参考に。