モノによりますが会員登録は英語で member registration / subscription などの言い方があります。become a member と言うと直訳で「会員になる」と言う意味になります。
例：
This website requires a subscription
このサイトは会員登録が必要です
You must register as a member to use this service.
会員として登録しないとこのサービスは使えません。
どうぞご参考に。
サイトやお店などの「会員になる。」という場合は、
"Join loyalty."
"Sign up for a loyalty program."
という表現を使うことも出来ます。
"loyalty"は、そのブランドやお店に対する忠誠の気持ちのことで、"join loyalty"は「そのブランドやお店に対する忠誠の気持ちを表す会員になる」という意味です。
"loyalty program"は、そのブランドやお店が顧客の忠誠心に対して提供している報酬やディスカウントなどの特典のことです。
"sign up for ~"は、「～に申し込む」という意味です。
ご参考になれば幸いです。
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