クローズドなイベントって英語でなんて言うの？

カタカナ言葉の通りですね。
また、反対語はopen eventになります。

「クローズドなイベントを開催します。」と告知したいとき、
We'll be holding a closed event *最後にtonight, on Friday, next weekなどをつけるのは良いと思います。
We'll hold a closed eventもいいです。個人意見かもしれませんが、なんとなくbe holdingの方が自然に感じます。

ご参考になれば幸いです。