オンラインで遠隔にいる先生に会話のスタートとして聞きたいです
「冬らしく」ということで "like winter" とか "winter-like" を使いました。
「やっと」は "finally" で表し、「そちら」は最初の文ではもしかして国が違うのであれば "country" に、ただ地方が違うのであれば "region" でいいかと思います。
二つ目の文では "area" にしました。これも「地域」という感じですね。
回答したアンカーのサイト
アメリカ英語と生活
A typical Winter day is here, finally.(典型的な冬の日がようやくやってきました)
もっと短くThe Winter is finally here. とも言えます。the Winterで、私が冬だと思っている冬という意味になります。
私の経験の範囲だと、この冬が来た、春が来た宣言をする人は多いですね。
私はWe finally have a typical Tokyo Winter day, finally.
(ようやく典型的な東京の冬の日になりました。)のように言ったりもします。
How is the weather over there?
そちらの天気はどうですか? という決まり文句はこれです。ただ 英語は日本語より具体的に言った方が好印象になるので、あなたの市では、町では、と入れた方が良いかもしれません。