罰ゲームで買い物ぱしられたって英語でなんて言うの？

My friend ran errands for his friends after loosing a game.
私の友達はゲームで負けた後、ぱしられた。

罰ゲームはそのまま英語でも、penalty game です。
例文は「ゲームに負けてみんなの使い走りに行かされるというペナルティーを食らった」という意味です。
run errands でお使いに出るとか、使い走りをするという熟語。
その場にいたみんなのために何か買いに行った、というニュアンスです。

「罰ゲーム」を penalty game と言うこともありますが、「ゲームに負けたので買い物に行かされた」と言ってもいいでしょう。

「罰を受けて〜する」という意味の pay for 〜を使い、shopping trip「買い物へ行く」とつなげても表現できます。