回答
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run an errand/ run errands
My friend ran errands for his friends after loosing a game.
私の友達はゲームで負けた後、ぱしられた。
回答
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We lost the game and had a penalty of running errands for everybody there.
罰ゲームはそのまま英語でも、penalty game です。
例文は「ゲームに負けてみんなの使い走りに行かされるというペナルティーを食らった」という意味です。
run errands でお使いに出るとか、使い走りをするという熟語。
その場にいたみんなのために何か買いに行った、というニュアンスです。
回答
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I had to buy all kinds of stuff because I lost a game.
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I lost many games, so I had to pay for a shopping trip.
「罰ゲーム」を penalty game と言うこともありますが、「ゲームに負けたので買い物に行かされた」と言ってもいいでしょう。
「罰を受けて〜する」という意味の pay for 〜を使い、shopping trip「買い物へ行く」とつなげても表現できます。