そちらで10日間滞在させて頂きます。って英語でなんて言うの？

「I intend to stay there for 10 days」とは、あなたが10日間その場所に滞在することを意味します。
「Intend to」とは、そうすることを意図していることを意味しますが、あなたはその問題について不合理ではありません。 それはあなたがそれをやりたいということを意味しますが、あなたはその問題について謙虚です。
この場合、それはあなたがその場所に滞在したいが、その場所があなたによって所有されているかのように振る舞わないことを意味します。
「I intend to stay there for 10 days」
「10日間滞在するつもりです」

それ以外には、このフレーズを言う名誉ある方法はありません。 英語のほとんどの礼儀正しさとマナーは、声の調子と、人の正しい敬称を使用することに由来しています

「○○させて頂きます」は英語で色んな言い方があります。
もっと丁寧な表現は「please allow me to ○○」です。
例：
「詳しく説明させて頂きます」→　Please allow me to explain in detail.
「満席のため同席させて頂きます」→　Since other seats are full please allow me to sit next to you.

だから、
「滞在する」→　stay
「10日間」 →　10 days
「そちらで10日間滞在させて頂きます」→　Please allow me to stay there for 10 days.

ご参考になれば幸いです。