「Shampoo with strong cleaning power」とは、洗浄力の強いシャンプーを意味します。
想像したとおり、「cleaning power」というフレーズを使用しても構いません
「Be sure not to use shampoo with strong cleaning power, because your hair dye might wash out」
「染毛剤が洗い流される可能性があるため、強力な洗浄力を持つシャンプーは使用しないでください。」
シャンプーには洗浄力が備わっているため、単に「strong shampoo」と言う方が早くて簡単です