同時進行でって英語でなんて言うの？

ご質問ありがとうございます。

"同時進行で"は英語で"At the same time"、"concurrently"、または"simultaneously"と言います。特に、"同時に"複数のことが進行している状況を示すときに使われます。

また、「家事」という言葉は英語では"housework"または"domestic chores"と表現します。「育児」は英語で"childcare"や"child rearing"と言います。例えば、「同時進行で家事と育児をするのは難しい」という場合、「I find it difficult to do housework and childcare simultaneously（or at the same time）」と表現できます。

追加の例文：

「報告書の作成と分析は同時進行で行われた」 "The report writing and analysis were conducted simultaneously." 『報告書の作成と分析は同時に行われました。』

「彼は仕事と学習を同時進行でこなしている」 "He is managing his work and study concurrently." 『彼は仕事と学習を同時にこなしています。』

この情報が役立つことを願っています。

お役に立てば嬉しいです。

I think it is hard to do housework and take care of children at the same time.
家事をやるのと子どもたちの面倒を見るのを同時にするのは難しいと私は思います。

「育児」は raise a child という言い方がありますが、「子どもを育てる」という意味であり、しつけや教育ほか金銭的な面も含まれることが多いです。今回のような場合、子どもの面倒を見ながら家事をするのが難しいということだと思うので、このような書き方にしました。

It is hard to raise a child alone.
一人で子どもを育てるのは難しい。

take care of 〜の代わりに watch でもいいと思います。単に「見る」でなく「監視する」という意味が含まれています。

children としましたが、一人っ子であれば a child です。

この場合の「同時進行で」は、単純にat the same time「同時に」で表現できます。
例）
It's difficult to do two things at the same time.
「２つのことを同時進行でやる/同時に２つのことをやるのは難しい」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)