"to put his chin on her shoulder"は「肩にあごを乗せる」を意味します。決まり文句の英訳が特にないので、この直訳を使えば意味が通じるはずです。"his/her"の代わりに"my"や"your"や"John's"や"Sarah's"などを入れ替えることが出来ます。
"to rest his chin on her shoulder"も「肩にあごを乗せる」を意味します。"rest"があると、力を抜いて顎を乗せる印象です。
ところで、スキンシップは和製英語です。自然な英語にすると"physical intimacy"・"physical bonding"と言います。
例文一:
He hugged her from behind and put his chin on her shoulder.
彼が彼女を後ろから抱きしめて、肩にあごを乗せた。
例文二:
He hugged her from behind and rested his chin on her shoulder.
彼が彼女を後ろから抱きしめて、肩にあごを乗せた。