I'll have to live with this bandage on my arm for the next while.
「包帯生活の始まり」は下のように言えなくもないですが、ちょっと大げさというか、例文2のほうがもっと自然な言い方になります。
1)I'll have to live with this bandage on my arm for the next while.
「これからしばらくは腕の包帯と生きていかなければいけない。」
live with で「(何か困難を)抱えて生きる・〜で明け暮れる・〜を耐え忍ぶ」という意味です。
2)I'll have to get used to having these bandages on my arm until I get better.
「(腕の怪我が)治るまで腕の包帯ぐるぐる巻きに慣れないとな。」
get used to で「〜に慣れる」
get better で「よくなる・治る・回復する」
ご参考まで!