幕府の犬って英語でなんて言うの？

「幕府の犬」とはある人物あるいは組織のために働く人を表す意味だと思いますが、
人間を「犬」として表現することはもちろん見下すニュアンスを持っていますね。

そして犬は普通人間のオーナーに従わなければならないので、
ある人物は必ず指導者あるいは組織の指示に従っているなら、
「犬」のように見えますね。

英語でこういう批判的な表現は人を「lap dog」と言います。
「lap dog」とは文字通り、人の膝に座れる小さな犬という意味です。

例文：
That guy is the government's lap dog.
あの奴は政府の犬だ。

同じイメージを表す表現は「puppet」（操り人形）です。
操り人形は操り人形師に従うことしかできないので、
そのような人を馬鹿にする言い方になります。
しかし、ニュアンスとして「puppet」は「lap dog」より悪くない気がします。
なぜかというと、「puppet」と呼ばれる人は命令に従いたいわけではないからです。
恐喝されている可能性もあるとのことです。

例文：
Most senators are puppets of the American gun industry.
ほとんどの上院議員はアメリカの銃産業の操り人形です。

「stooge」というのは「不快な業務を行うために別の人が使用する部下」という人です。
ニュアンスも上記の提案と少し違って、
使用されていることが知らない可能性もあるということです。

例文：
He has vehemently rejected claims that he is a government stooge.
彼は自分が政府の手先だという主張を激しく拒否した。

ご参考になれば幸いです。