「誘う」は英語で invite と askしかないと思います。
今度誘ってよ – Invite me next time. / Ask me next time. / Ask me if I want to go next time.
彼らは私をディナーに誘った- They asked me to dinner.
Let me know when the next party is. 次のパーティーはいつか教えてね（知らせてね）。その知らせはだいたいこういう感じです。
There’s a party on Friday. Do you think you can come? 金曜日にパーティーがある。参加できると思う?
知らせと誘いが一緒になっています。
第三者に伝える時に、 「Xさん invited me to a party on Friday」 もしくは 「Xさん asked me to go to a party on Friday」と伝います。
ご質問ありがとうございます。
「[誘って](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33016/)」は確かに「invite me」になりますが、それ以外の表現を使いたいなら、「Let me know if I can tag along.」でも使えると思います。
また、別の言い方で「Let me know when and where to meet up」でも使えると思います。
上記の２つの言い方はカジュアルな言い方です。
ご参考になれば幸いです。
イギリス 
アメリカ合衆国 
