シンプルで自然なのは
"My cousin's bird has beautiful eyes."
です。「いとこの鳥」は my cousin's bird と ’s を使って表します。英語ではこの形が一番よく使われ、会話でも自然です。
もう少し説明的に言う場合は
"The bird my cousin keeps has beautiful eyes."
のように、「いとこが飼っている鳥」を後ろから説明する形(関係代名詞の省略)を使います。
※ keeps は「飼っている」というニュアンスで、has よりもペットらしい自然な表現です。