blurt outとは衝動的に口に出すという意味です。
I blurted out his secret. 「彼の秘密をうっかり漏らした。」
a slip of the tongueは、舌が滑るという意味です。英語では舌、日本語は口が滑るという表現の違いが面白いですね。
I'm sorry, it was just a slip of the tongue. 「ごめん、口を滑らせただけだよ。」
ご参考になれば幸いです。
「口を滑らせる」は口語で
let the cat out of the bag
といいます。
（直訳・ネコをバッグから出してしまう）
これで「ついうっかり秘密を漏らす」という意味になります。
You let the cat out of the bag!
(口を滑らしたな！）
あるいは、やはり口語で
spill the beans
（直訳・豆をこぼす）ともいいます。
うっかりして、豆をこぼしてしまうことから来たようです。
Don't tell that to her. She'd spill the beans.
(そのことを彼女に言わないように。きっと口を滑らしてしまうから）
（She'd = She would の略 「そうしたとしたら」という仮定法です）
一語で言いたかったら
reveal （漏らす・明らかにする）や
leak(漏らす）を使うと良いでしょう。
I revealed my age against my intention.
(そうする気はなかったのに、自分の年を漏らしてしまった）
なお、againstは ~に反して、intentionは 意図 です。
He leaked his company's critical information.
(彼は口を滑らして、会社の重要な情報をバラしてしまった）
（critical =very important ＝とても重要な です）
なお、leakは、実際に水などを漏らす・漏れているときにも使います。
The pipe is leaking water.
（パイプから水が漏れている）
日本 
