Most nursery schools have too many applicants and must use a lottery system
ご質問ありがとうございました。
「ほとんどの保育園は応募者が多く抽選だ」は英語で訳しますと「Most nursery schools have too many applicants and must use a lottery system」が一番いいかなと思います。
「ほとんど」は「Most」か「Almost all」か「Nearly all」でも言えます。
「保育園」は「Nursery school」でもいいし「Preschool」でも言えます。
「応募者」は「Applicants」でいいと思います。
「抽選」は「Lottery」か「Raffle」でも言えます。
「System」を入れたら意味がもっと伝われると思います。
「Nearly all preschools have too many applicants and must use a raffle system」でも言えますね。
役に立てば幸いです。