この場合、bring を使って言うことができます。
ーIs it possible to bring my dog along?
「犬と一緒に乗っても良いですか?」
bring my dog along で「犬を連れて行く・持っていく」となり、この場合なら、「犬と一緒に乗る」というニュアンスです。
ーDo you allow dogs as passengers?
直訳すると「あなたは犬を乗客として許可しますか?」となり、「犬を乗せても良いですか?」
聞くときに使えます。
allow で「〜を許す・〜の入るのを許可する」
passenger で「乗客」
ご参考まで!