この場合、bring を使って言うことができます。
ーIs it possible to bring my dog along?
「犬と一緒に乗っても良いですか？」
bring my dog along で「犬を連れて行く・持っていく」となり、この場合なら、「犬と一緒に乗る」というニュアンスです。
ーDo you allow dogs as passengers?
直訳すると「あなたは犬を乗客として許可しますか？」となり、「犬を乗せても良いですか？」
聞くときに使えます。
allow で「〜を許す・〜の入るのを許可する」
passenger で「乗客」
ご参考まで！
タクシードライバーさんに「犬を乗せてもよろしいでしょうか？」と丁寧に尋ねるなら、次のような表現が自然です。
"May I bring my dog into the taxi?"
「犬をタクシーに連れて入ってもよろしいでしょうか？」という意味で、とても丁寧な聞き方です。bring は「連れてくる、連れて行く」という意味なので、ペットを同伴するときによく使われます。
もう少し会話らしく言うなら、
"Would it be okay if my dog rode with me?"
もおすすめです。
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