「運転席」って英語でなんて言うの？

その辞書は正しいですね。
運転席は driver's seat と言いますが、助手席は passenger seat と言います。

例：
You can sit in the passenger seat.
「助手席座っていいよ。」
passenger seat の代わりに in the front を使っても言えます。
＝You can sit in the front.

There is room for three people in the back seat.
「後部座席には３人座れる。」
「後部座席」は back seat と言います。

ご参考まで！

車の中で「運転席」と「助手席」を表す時、"driver's seat" と "passenger seat" というフレーズが一般的に使われます。

• "Driver's seat" は車で運転をする人が座る席を指します。"Driver's" という形容詞的な所有格を使い、その席が運転手専用であることを示しています。

• "Passenger seat" は通常、前席の助手席を指し、後部座席を指すことはあまりありません。ここでの "passenger" は乗客や同乗者を意味し、所有格 's が付かないのは、特定の「乗客の席」というわけではなく、「乗客(たち)用の席」という一般的な用途を示すためです。

英語では所有格 's がつく場合とつかない場合がありますが、"driver's seat" は特定の機能（運転する機能）を持つ席を指すため、所有格が使われます。一方で "passenger seat" は席の機能としての特定性が少ないため、所有格なしで使われることが一般的です。