これは直訳と違いますが、伝えたいことを表現できる言葉になると思います。
「用」は jobs/errands/things to do で言いますが、日常会話的に話すとこれは things to do/what I need to do で言えばいいと思います。
例文 I have some things to do, so I can't come.
「用があるから、来られない。」
例文 I have some things to do on Wednesday, so could we meet on Thursday?
「水曜日に用があって、木曜日に会っていいですか？」
参考になれば幸いです。
"I just finished my chores, so I came to join the stream!"
・"I just finished my chores, so I came to join the stream!"
「ちょうど用事が済んだので、配信に参加しに来ました（用が済んだので来ました）！」という意味です。
・"I'm finally free now, so I came to hang out!"
「やっと用が済んで手が空いたので、遊びに来ました（用が済んだので来ました）！」という意味です。
・"I finished everything I had to do today, so I came over to watch."
「今日の用事をすべて終わらせたので、配信を見に来ました（用が済んだので来ました）」
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