「保健所を通す」は英語で「going through the health care center」と言います。「go through」は普段「外から内まで通す」の意味ですが、「その手段でやり切る」の意味も持っています。
コロナウイルスの検査は保健所を通してたから時間が今までかかってました。
I had to go through the health care center to get tested for coronavirus, and it took up until now to get it done.
make its way through the health care system/center
ご質問ありがとうございます。
「保健所」はhealth care centerと言えますが、ニュアンスによって、centerの代わりにsystemとdepartmentも使えると思います。
「通す」はgo throughに英訳できますが、pass throughとmake its way throughにも使えます。特にこの話ではmake its way throughがとても自然な言い方です。
例文：The Covid test had to make its way through the health care system so it took until now.
ご参考になれば幸いです。
英会話講師のKOGACHIです(^^)/
おっしゃられている内容は、go through the health care center 「保健所を通る」
と表現できます。
以上ですm(_)m
少しでも参考になれば幸いです(#^^#)
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