社会生活では、身だしなみを整えることが暗黙のルールとして要求されます。それは、相手を尊重し、相手に敬意を表すためのマナーです。In public, we are implicitly required to be tidy, because by being tidy we can express respect to other peoples. でおおよその意味が伝わるでしょうか。
Personal grooming is a way of expressing respect for others.
「身だしなみを整えることは、相手に敬意を表すことです。」は英語で「Personal grooming is a way of expressing respect for others.」という表現が良いと思います。
「In public, we are implicitly required to be tidy, because by being tidy we can express respect to other peoples.」はよろしいです、「Other peoples」より「Others」だけ使う方が良いと思います。
Grooming well is a sign of respect towards others.
この考えを英語で表すと「Grooming well is a sign of respect towards others.」になります。「grooming well」とは「身だしなみを整える」という意味で、洗練されていて見た目に気を使うことを表します。「sign of respect」とは「敬意の印」という意味で、他人に対して礼儀正しさや敬意を示す行為の一つとして身だしなみを整えることを指す表現です。
質問補足の文「In public, we are implicitly required to be tidy, because by being tidy we can express respect to other peoples.」も似たニュアンスを伝える一文ですが、「peoples」は「people」にするのが正しい形です。また、「tidy」よりも「grooming well」のほうが身だしなみ全般、特に個人のハイジーンや服装に関連するケアを指していることが明確になります。