アルコールで手が荒れちゃったねって英語でなんて言うの？

Looks like your hands got chapped from the alcohol use.

"Looks like"=「～のように見える」
"your hands"＝「君の手」
"got chapped"=「（皮膚などが」ガザガザになる」
"from the alcohol use"＝「アルコールの使用で」

"chappy"（形容詞）としても使えます。
例文：I've got chappy hands."「私の手は荒れている。」

「手の消毒液」は、"hand sanitizers"と言います。

"alcohol-based"は、「アルコール成分の」

"overuse"は、「使いすぎ」

"cracked hands"/ "cracks on the skin"は、「パックリ割れ」

"chafe"は、「（皮膚などを）すりむく」

"chap"は、「（手などが）荒れる」

"dry は「乾燥した」/ "dry skin"は「皮膚乾燥・乾燥肌」

など様々な表現があるので、荒れている程度によって使い分けてみてください。

ご参考になれば幸いです。