ご質問ありがとうございます。
「６月は春と夏の間です」を英語にすると、June is between spring and summerです。
問題は英語の文法などではなく、表していることです。季節の間はどこでも存在しないことなので、このような表現がないというのはおかしくないと思います。
梅雨の関係で出てきた話ではないかと思いますが、梅雨は季節ではありません。英語でrainy seasonと言っても、季節のことではありません。時期のことを示しているだけです。June is like the season between summer and spring（つまり、夏と春と間のような季節）のような表現にすると、通じることはあるかもしれませんが、相手が住んでいる気候などによって理解するかしないかというところです。また、日本でも気象庁が「６月が夏」ということ決まりがあるらしいので、文化的な言い方かもしれませんので、説明する自信がなければ、英語で言わない方がいい可能性もあります。
ご参考になれば幸いです。
カナダ 
