ご質問ありがとうございます。
「採血される」を英語にすると、get blood work doneになります。「する」の場合はdo bloodworkになりますが、やる人が言うことがほとんどですので、一般的な人があまり使わない表現です。また、地域によって言い方が変わる可能性がかなり高いですので、こちらはカナダ育ちの私が使う表現になります。
では、単語を見てみましょう。
get もらう
blood 血
work 仕事・作業
done 済んだ
単語だけを確認すると、ちょっとわかりにくいかもしれませんが、blood workはセットとして使われていて、「採血すること」という意味があります。また、get○○doneという表現は「○○をやってもらう」という意味になりますので、二つのセットに分けると、一番分かりやすいかもしれません。
例文を見ると、
I went to the hospital to get blood work done → 病院に行って、採血された
ご参考になれば幸いです。
「採血する」は to draw blood のように言えますが、これは血を抜く行為に焦点が置かれているので、もし血液検査をした・してもらったというなら、下のように言うとよいでしょう。
ーThe veterinarian is doing blood tests on the dog.
「獣医が犬の血液検査をした。」
veterinarian で「獣医師」 vet と省略して言うこともできます。
do blood tests で「血液検査をする」
ーI had blood work done at the hospital.
「病院で血液検査をしてもらった。」
have blood work done で「血液検査をしてもらう」
blood work で「血液検査」とも言えます。
ご参考まで！
カナダ 
