この場合は she won't play with me が適切です。
Won't は未来形の will のネガティブな表現ですが 一切と
言う意味を持ったりもします。
一方 she doesn't play with me はどちらかと言うと
私とは遊ばないと言った感じです。
因みに動物同士でも play は使えます。
この場合、次のような言い方もできますよ。
ーShe doesn't want anything to do with me at all.
「彼女は私とまったく関わりたくない」=「彼女は私と遊びたくない」
ーShe doesn't want to have any fun with me.
「彼女は私と楽しいことをしたくない」=「彼女は私と遊びたくない」
ご参考まで!