I don't want to give up neither my career nor parenting.
"I don't want to give up"＝「私はあきらめたくない」
"neither my career nor parenting"＝「キャリアも、育児も」
「妥協する」を"give up"と訳しましたが、もう少し強い意味を表現したい場合は、"I don't want to sacrifice my career or parenting" というふうに"sacrifice" 「犠牲にする」という単語も使えると思います。
アメリカ合衆国 
