I cannot beat either heat in (the) summer or cold in (the) winter.
I can beat neither heat in (the) summer nor cold in (the) winter.
beat は 打ち負かす という意味です。
not~either A or B (例文1)
「AもBも~でない』という全否定になりますので、『夏の暑さにも、冬の暑さにもかないません』という意味になります。
これは neither A nor B (例文2) と同じです。
注意・ どちらにもかなわないということで、たとえば
I cannot beat both heat in (the) summer and cold in (the) winter.
(not~both A and B の形)にしてしまいますと、これは部分否定になり、
『夏の暑さにも冬の暑さにも、かなうわけではない』と、意味が変わってしまいますので、ご注意。
ご参考まで。