この予約は誰にお願いすればいいですか？って英語でなんて言うの？

ーWho should I ask to make this appointment?
「予約するのに誰にお願いすれば良いですか？」
Who should I ask ...? で「誰にお願いすれば良いですか？・誰に聞けば良いですか？」
to make this appointment「この予約を取るために」

ーI'd like to know who's in charge so I can book a time.
「予約を入れれるよう担当者を知りたいです。」＝「予約したいので担当者を教えてください。」というニュアンスになります。
I'd like to know who's in charge で「誰が担当者か知りたい」
book a time で「時間を予約する」

ご参考まで！

「担当者が誰であるか」というのは who is responsible for this booking? で聞くことができます。

「予約」は booking/reservation と伝えます。

「お願い」という部分は ask（聞く）か request（願う）にすればいいと思います。

参考になれば幸いです。