まず The gift I got was a watch. という文は通常の会話では使わないですね。
日本語でも「プレゼントに時計をもらいました」と言った方が自然ですよね。
文として成立するかといえば成立はします。
＊主語の部分（The gift I got ）はなぜＩ got the gift ではいけないのでしょう。
この質問に対する答えは、I got the gift was a watch. だと文法的に間違っているので、使えません。
＊また、「The gift」と「 I got」の間には何かが省略されていますか？
the gift と I got の間に that が省略されています。
この場合、次の例文のようにいうと自然で良いでしょう。
例：
I got a watch from my dad as a graduation gift.
「卒業のお祝いに父から時計をもらった。」
ご参考まで！
カナダ 
