肌荒れで憂鬱って英語でなんて言うの？

「～で憂鬱だ」は be depressed about ～です。
肌荒れはrough skin。
または、I have skin problems（肌の問題を抱えている）。

suffer from～（～で悩んでいる）を使って、
I'm suffering from skin problems.としてもＯＫです。

"I'm feeling down because of my breakouts."
「吹き出物のせいで気分が落ち込んでいます」

＊ feel down: 落ち込む
＊ breakout: 吹き出物、湿疹

ご参考になれば幸いです。