こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『もう続けるのはあきらめました』は、
I gave up carrying on it. として
『それを続けるのはあきらめました』と言えます。
『何を』やめたのかによっても言い方は色々あるかと思います。
例えば、
I've given up pursuing a career in medical science. とすると
『私は、医学の道を進むことをあきらめました。』
Give up something important. とすると
『何か重要なものをあきらめる。』
Give up on going to college
『大学に行くことを諦める』
また、
『ずっと続けていましたが、毎日行うのは苦痛なのでやめました。』は、
I kept doing it every day, but I felt uncomfortable, so I stopped doing it.
と説明できますね！
もし、『肉体的に苦痛で』というような内容であれば、
I was physically distressed. というように言ってもよいと思います。
メモ
give up doing ～することを諦める
let go of the desire to xxx xxxしたいという願望を諦める、捨て去る
参考になれば幸いです。
日本 
